Depois de muita dedicação e estudo, você conseguiu atingir o objetivo de entrar na universidade e, agora, precisa ir até lá para finalmente fazer sua matrícula. Como ela fica um pouco longe da sua casa, você precisará tomar dois ônibus: um da sua casa até o terminal central da cidade e outro, do terminal até a universidade. Felizmente, você tem 5 opções de linhas para o primeiro trajeto e 3 opções para o segundo. Quantas opções você terá para chegar até a universidade?
Para podermos solucionar esse problema, vamos iniciar o nosso estudo de Análise Combinatória, que busca resolver problemas relacionados a diferentes agrupamentos de elementos. Vamos dividir os trajetos de casa até o terminal em A, B, C, D e E e os trajetos do terminal até a universidade em 1, 2 e 3. Então, se você pegar em casa a linha A, terá as opções 1, 2 e 3 para ir até a universidade. Caso opte pela linha B, também terá as 3 opções para o segundo trajeto. O mesmo acontecerá para as outras linhas, então, podemos montar um diagrama para visualizar melhor suas opções. Veja:
Note que, se contarmos cada uma dessas possibilidades, teremos 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 5.3 = 15. Assim, quando temos etapas (no nosso caso, os trajetos) sucessivas e independentes, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) para sabermos quais são as possibilidades de agrupamento dos elementos que estamos estudando, isto é, multiplicamos o número de possibilidades da primeira etapa pelo número de possibilidades das outras etapas. Formalmente, podemos escrever:
Veja um outro exemplo de aplicação direta do PFC: No seu primeiro dia na universidade, você conheceu um lugar que frequentará quase diariamente por muito tempo, o restaurante universitário, carinhosamente chamado de RU. Lá você tem 3 tipos de salada, 4 tipos de pratos quentes e 2 tipos de frutas e você só pode escolher uma opção de cada coisa. Quantas possibilidades de montar seu prato você tem?
Para começar, vamos chamar as opções de salada de S1, S2 e S3, as opções de pratos quentes de P1, P2, P3 e P4 e as opções de frutas de F1 e F2. Agora, precisamos montar nosso diagrama ao lado para podermos visualizar melhor as possibilidades:
Para saber quantas possibilidades de fazer seu prato você tem, você pode contar a última coluna do diagrama ou aplicar o PFC que propõe, basicamente, que as possibilidades sejam multiplicadas. Assim, aplicando o PFC, teremos 3.4.2 = 24 possibilidades de montar seu prato.
Agora que você está dominando o PFC, está calculando todas as possibilidades de agrupamentos que pode. A sua última ideia foi calcular quantos agrupamentos diferentes é possível fazer com as letras da palavra “curso”, algo que também podemos chamar de anagramas diferentes dessa palavra. Para isso, vamos fazer um diagrama um pouco diferente. Veja abaixo:
Cada um desses espaços equivale a uma letra. Perceba que, para o primeiro lugar, temos 5 possibilidades de letras. Considerando que, obrigatoriamente, esse lugar será ocupado por uma letra, o próximo espaço terá apenas quatro possibilidades de letras, assim como o terceiro espaço, que terá três possibilidades e o quarto lugar, que terá duas possibilidades, e por fim sobrará uma letra que ocupará o quinto e último espaço. Vamos escrever o número de opções para cada um desses espaços do diagrama.
Então, pelo PFC, para sabermos quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra curso, basta multiplicarmos cada uma das possibilidades do diagrama que construímos acima. Assim: 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.
Esse processo, em que iniciamos a multiplicação de um número pelo seu antecessor até chegar no número 1, é denominado fatorial de um número e é indicado pelo símbolo “!”. Assim, o fatorial de 5, ou 5 fatorial, é indicado por 5!, que é 5.4.3.2.1.
Formalmente, podemos escrever que, se temos n elementos distintos (no nosso caso, 5 letras diferentes), o número de agrupamentos ordenados que podemos formar com eles é dado por:
Possibilidades = n.(n-1).(n-2) … 2.1
Então, no nosso caso, como n = 5, teremos:
Possibilidades = 5.(5 – 1).(5 – 2) … 2.1
Possibilidades = 5.(4).(3).2.1
Possibilidades = 120
Sua universidade oferece bolsa de estudos de 100% da mensalidade
para o primeiro colocado no processo seletivo e 50% para o segundo
colocado. Você ficou sabendo que os cinco primeiros colocados foram
cinco colegas seus: Angela, Bianca, César, Diana e Eduardo, que também
estudaram no Me Salva!, e ficou curioso para saber quantos são os
cenários possíveis para os dois primeiros lugares. Para realizar esse
cálculo, você montou o diagrama abaixo chamando seus colegas pelas
iniciais de seus nomes: A, B, C, D e E.